大事なことしか話さない

学んだことの備忘録 CFA/株/投資/証券アナリスト等

(準)凹関数の証明方法

とある関数が凹関数(準凹関数)かどうか証明したいときに参考にして欲しい
まずは結論から

結論

ヘッセ行列を作り、①左上と右上(diagonal elements)が0以下であること、②行列式(determinant)が0であることを示せば良い

問: u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) = \ln \left( x _ { 1 } \right) + x _ { 2 }は準凹関数であるか?
式:ヘッセ行列は
$$ \Large \mathbf{H} = \begin{bmatrix} \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } & \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } \\ \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } & \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } \\ \end{bmatrix} $$
で求められる。
$$ \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } = -\frac{1}{x^{2}} \leq 0 \cdots ① $$ $$ \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } = 0\ $$ $$ \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } = 0 \leq 0 \cdots ②\ $$ $$ \det{\mathbf{H}} = 0 \cdots ③\ $$
①、②、③より u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right)は凹関数である。(+全ての凹関数は準凹関数なので、 u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right)は準凹関数である。